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最短路径问题 ——教学设计
信息来源: 发布时间:2018-04-03

13.4  课题学习  最短路径问题

一、内容和内容解析

1.内容

最短路径问题.

2.内容解析

本节课主要是要探究两个实际问题:一个是牧人饮马问题,另一个是造桥选址问题.该内容是通过轴对称及平移等变换把问题转化为关于“两点之间,线段最短”的问题,在解决问题的过程中渗透“化归”的思想,让学生经历观察、实验、猜想、计算、推理、验证的探究过程,培养学生的创新意识与应用意识,体现数学课程校本化以及数学在生活中的实际应用.

基于本节课内容的地位及作用,制定本节课的教学重点为:利用轴对称、平移变换解决实际问题中的最短路径问题.

二、目标和目标解析

1.目标

  1. 经历最短路径问题的探索过程,进一步理解和掌握两点之间线段最短.
  2. 体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问

题的过程,掌握探索最短路径问题的思想和方法.

  1. 在数学学习活动中获得成功的体验,激发学习兴趣,感受到数学与现实

生活的密切联系.

2.目标解析

达成目标(1)的标志是:学生能运用轴对称、平移等图形变换将问题转化为两点之间线段最短问题.

达成目标(2)的标志是:学生能运用模型思想建立数学模型,经历最短路径问题的探究过程.

达成目标(3)的标志是:学生课堂气氛活跃,能积极进行参与课堂活动,产生学习数学的兴趣.

三、教学问题诊断分析

八年级是学生数学思维的发展阶段,学生已经具备了初步的图形变换及模型思想意识,获得了一定的运用转化思想解决实际问题的数学活动经验,可以主动参与、思考、交流.但由于学生归纳总结、综合实践能力不足,很难发现数学知识之间的联系,因此在解决实际问题时常常感到无处着手.

学生可以通过运用模型思想将复杂问题简单化,从基本问题开始解决,逐步深入,发现数学问题的本质,从而解决问题.

基于以上的学情分析,制定本节课的教学难点为:建立模型思想,分析作图原理.

四、教学过程设计

1、复习回顾、引出新课

①两点的所有连线中,线段最短;

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.

③如图,点AB分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A、点B的距离和最短?

 

 
 

 

 

 

 

 


师生活动:学生自主完成,学科代表组织复习.

②教师电子白板展示,引出新课.

教师关注:学生对已学知识的掌握,对于概念的误区加以纠正;加强学生的自主学习,体现学生的主体地位.

设计意图:利用已学知识提出新的问题,从而引出新课,让学生体会数学知识之间的联系并产生探索研究的兴趣.

2、动手实践、自主探究

探究一、牧人饮马最短路径问题

如图,牧马人从A地出发,到一条笔直的

河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么

地方饮马,可使所走的路径最短?

    【问题1你能从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型吗?

师生活动:学生板书数学模型、分析数学问题,师生共同反馈交流.

教师关注:学生能否独立建立数学模型.

          ②学生动手实践能力的培养.

设计意图:让学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型的过程,体会转化与化归思想的应用.

【问题2】利用已学知识,你能确定牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短吗?在你的数学模型中画图说明.

师生活动:①学生独立思考,发现作图方法及原理.

②展示学生画法,教师利用几何画板进行计算验证.

③教师点拨,学生运用电子白板展示并阐述作图过程.

教师关注:学生对数学语言的表达、运用,对转化与化归思想方法的理解及轴对称、两点之间线段最短等知识的运用.

设计意图:培养学生数学思想方法的运用和综合与实践的提升,经历观察、实验、猜测的过程.

【追问】如果在直线上另外任取一点,连接,怎样说明?

师生活动:教师运用几何画板展示,学生产生直观感受并叙述证明过程.

②学生简述证明过程,教师点拨分析.

③学生归纳总结探究1最短路径选择解题思路,教师点拨.

教师关注:①学生对两点之间线段最短知识的理解.

          ②学生的逻辑推理能力及对数学语言的运用.

设计意图:加深学生对运用轴对称作图,将问题转化为两点之间线段最短问题的理解,让学生经历实验-猜想-验证的过程.

3、展示点拨、拓展延伸

探究二、造桥选址最短路径问题

如图,AB两地在一条河的两岸,现要在河上造一

座桥MN.桥造在何处可使从AB的路径AMNB最短?

(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.

【问题1】你能从实际背景中抽象数学问题、构建数学模型吗?

师生活动:学生板书数学模型、分析数学问题,师生共同反馈交流.

教师关注:学生能否独立建立数学模型,发现数学模型之间的关系.

          ②学生动手实践能力的培养.

设计意图:让学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型的过程,体会转化与化归思想的应用.

【问题2】利用已学知识,你能确定桥MN的位置吗?在你的数学模型中画图说明.

师生活动:学生先进行独立思考,再进行小组交流.

          ②观看微视频,在桥的位置变化过程中发现正确画法.

          ③分析作图原理,发现作图方法.

          ④学生完善作图过程,学生代表运用电子白板展示作图过程.

教师关注:学生对转化与化归思想方法的理解及平移、两点之间线段最短等知识的运用.

设计意图:培养学生数学思想方法的运用和综合与实践的提升,经历观察、实验、猜测的过程

【追问】如果在直线b上另外任取一点,过点,垂足为,连接,,,怎样说明

师生活动:学生分析思考并叙述证明过程.

②教师运用电子白板展示证明过程.

③学生归纳总结探究2最短路径选择解题思路,教师点拨.

教师关注:①学生对两点之间线段最短知识的理解.

          ②学生的逻辑推理能力及对数学语言的运用.

设计意图:加深学生对运用平移作图,将问题转化为两点之间线段最短问题的理解,让学生经历实验-猜想-验证的过程.

【拓展】类比上述方法,你还能发现其他作法吗?

师生活动:教师进行视频展示,学生观看.

          ②课后登陆班级博客,再次观看微视频释疑解析.

设计意图:拓展学生思维,培养学生对类比数学思想方法的应用,加强对数学知识的理解及迁移能力.

4、回顾总结、反思提升

师生活动:①学生谈本节课的收获,总结进行最短路径选择的解题思路.

          ②教师运用flash直观展示各模型间的区别与联系,点拨提升.

5、综合应用、理解巩固

如图,首创光合城和金地艺境在津沽公路的同旁,为方便人们出行,要在津沽公路的一侧上建一个公交站,使它到两个小区的路程之和最短,公交站应建在何处?建立数学模型画出该点的位置.

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 


师生活动:学生自主完成,巩固应用数学知识进行最短路径选择的解题思路.

设计意图:培养学生的应用意识,体会数学知识的迁移.运用数学知识解决学生身边的生活问题,体现国家课程校本化.

6、分层学习、布置作业

教材P93第15题(选作)

五、目标检测设计

PRtABC直角边AC上一定点.试在另外两边上各求一点QR,使PQR周长最小.

 

 

 

 

 

设计意图:加深学生对运用轴对称、平移等图形变换的认识,提高学生的综合与实践能力.

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